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发布日期:2024-06-09 11:27    点击次数:74

…不是扫数可计数的事物都迫切新葡萄娱乐官网版游戏987,也不是扫数迫切的事物都能被计数 — 威廉·布鲁斯·卡梅隆(摘自《非认真社会学:社会学念念维的缓慢导论》,1963年)

盒计数(Box-counting)是咱们用来预计对象、图像或连结的分形维数的一种训诫时间。它基于一个肤浅的想法——用越来越小的盒子阴私对象,然后狡计每个相应限制下阴私对象所需的盒子数目。以这种方式赢得的测量被称为“盒计数维数”或“闵可夫斯基维数”。

要是一个对象实质上是分形的,意味着它在不同的圭表下具有相似的结构或模式。在使用盒计数款式时,这种分形特色发达为测量盒的大小(即每个盒子的尺寸)与需要阴私通盘对象的盒子数目之间存在一种特定的数学相干——幂律相干。

幂律相干是指一个量(在这里是被占据盒子的数目)与另一个量(测量盒的大小)之间的相干不错通过一个幂函数来态状。具体地,要是咱们将测量盒的大小记为s,需要的盒子数目记为N,那么幂律相干不错暗意为

其中∝暗意成比例相干,D是一个正实数,称为对象的分形维数。

在究诘咱们若何将大小和计数之间的相干调遣为单一的维数测量之前,看一看使用熟练对象的具体例子可能会有所匡助。

例子

盒计数的进程包括用逐渐变小的盒子阴私图像,并记载每个限制下被占据的盒子数目。为了发展咱们对维数测量究竟意味着什么的直观,咱们将从对“线”进行盒计数启动。

上图清楚了用边长永诀为1,1/2,1/4和1/8的盒子阴私蓝线的进程。底下是扫尾计数,其中N(s)代表边长为s的盒子的计数:

N(1) = 1N(1/2) = 2 = 1/(1/2)N(1/4) = 4 = 1/(1/4)N(1/8) = 8 = 1/(1/8)

不错看到,经常N(s) = 1/s。每次测量盒的边长减半,计数就加多2倍。

面前咱们对一个蓝色正方形进行疏导的进程:

使用不同大小的盒子s来测量蓝色正方形。底下是计数扫尾:

N(1) = 1N(1/2) = 4 = (1/(1/2))²N(1/4) = 16 = (1/(1/4))²N(1/8) = 64 = (1/(1/8))²

此次咱们看到,经常N(s) = (1/s)²。每次测量盒的边长减半,计数就加多4倍。

当咱们将这个进程运用到各人皆知的分形之一——谢尔宾斯基垫片(Sierpinski gasket)时,情况就变得深嗜了。

谢尔宾斯基垫片剖判成它我方的三个副本新葡萄娱乐官网版游戏987。每个副本都不错以通常的方式进一步剖判。

谢尔宾斯基垫片(也称为谢尔宾斯基三角形或谢尔宾斯基筛)不错通过好多不同的方式构造。以波兰数学家瓦茨瓦夫·谢尔宾斯基定名,它经常被界说为的极限局面或吸绪论。上图展示了该局面的自相似结构。

在上图中,咱们完全用最极少量的不重复盒子在每个限制下阴私了垫片。底下是计数扫尾:

N(1) = 1

N(1/2) = 3

N(1/4) = N((1/2)²) = 9 = 3²

N(1/8) = N((1/2)³) = 27 = 3³

在这个例子中,一般限定是:

每次测量盒的边长减半,计数就加多3倍。显明,这不相宜一维或二维对象的限定。让咱们望望咱们是若何相连这一丝的。

幂律

上述每个案例中的相干都是由幂律特征化的——一个量按比例变化至另一个量的幂(即,指数)。在这些肤浅的情况下,不错平直得出指数。对于计数N,边长s,和维数d,咱们不雅察到经常情况下:

取双方的对数,有:

面前从头陈列,发现:

方程1

给出了一个分析抒发式,用于在已知缩放相干的情况下狡计对象的维数。事实上,咱们得到的称为相似维数(similarity dimension)——每当有一个由N个不重复的自己副本组成的自相似局面,每个副本都按消弱因子s缩放时,就不错狡计相似维数。

对于谢尔宾斯基垫片,它的维数d = Log(3)/Log(2) ≈ 1.58496。直不雅上,这是有利思意思的,因为它占据的空间比线条(1维)多,而比平面(2维)少。

可是新葡萄娱乐官网版游戏987,当咱们不停一个具有未知缩放属性的自相似对象时会发生什么呢?

测量幂律

当缩放属性未知时,咱们不错通过制作盒子大小与各自计数的对数-对数图来查抄是否存在幂律。要是确乎存在幂律,会发现点落在代表最好拟合线或转头线的直线上。数据与转头线之间的“拟合度”经常使用R平常值(R²)来测量,范围从0到1(1暗意圆善拟合)。一般来说,对于什么是“好”的R²值莫得皆备的阈值——这在很猛进度上取决于筹备领域、正在进行的特定分析以及数据的性质。

假定尺寸与计数的绘图点接近转头线,那么该线的斜率的皆备值不错发挥为咱们正在测量的对象的维数d。这是因为,正如咱们在推导方程1时所看到的,对幂律相干取对数会将其调遣成线性方程:

方程2

在方程2中,要是设y = Log(N)和x = Log(1/s),那么得到的即是直线方程y = mx+b,其中d = m且b=0。

以下是上述三个例子的对数-对数图:

如预期,图5中的对数-对数图与咱们将相应的数字代入方程1所得到的扫尾一致。

海岸线

盒计数的典型例子源泉于贝努瓦·曼德布洛特在1967年发表的首创性论文《英国海岸线有多长?统计自相似性与分数维度》。

在他的筹备进程中,曼德布洛特未必发现了一篇由刘易斯·弗莱·理查森(1881–1953),一位戮力于筹备干戈原因的和平目标者所写的论文。理查森以为地舆身分确定是一个身分,他小心到西班牙与葡萄牙之间的界限线按西班牙的说法是987公里,但按葡萄牙的说法是1214公里——各别23%!天然一个较小的国度可能多情理夸大其相对于较大邻国的大小,但这种各别并不荒废。

理查森知晓到的是,跟着他的测量圭表的减小,界限长度加多。这是有深嗜的,因为较小的尺子不错测量较小的特征;大尺子遗漏的进口和浅湾,在使用小尺子时会被狡计在内。这是一个在好多圭表上发生的景况。这种属性与咱们熟练的欧几里得对象不同,后者的测量扫尾不论测量圭表大小若何都保合手不变。

尽管曼德布洛特在他的论文中莫得平直使用盒计数,但他确乎基于理查森在1961年身后发表的基于长度的测量数据得出了他的扫尾。曼德布洛特的一个关键洞见是,不雅察到的缩放景况不错用维度的想法来态状,而况这么的测量对于了解局面的相对“爽气度”有迫切意思意思。

使用理查森的使命,曼德布洛特预计了大不列颠西海岸的维数为d ≈ 1.25。上图清楚了将盒计数进程运用于大不列颠时的式样。

下图清楚了我基于Wolfram Research数据仓库的舆图数据为通盘国度的海岸线生成的对数-对数图。

它给出了一个盒计数维数d ≈ 1.2458。这个扫尾与曼德布洛特对西海岸单独预计的扫尾彰着一致。小心,在上图中,一些点稍微高于或低于转头线。当测量天然景况时,这是不错预期的,因为它们倾向于省略自相似,而不是严格自相似。(事实上,这个拟合的恶果相等好,R² ≈0.9991)

比较之下,南非的海岸线相对平滑,其维数d ≈ 1.05,而挪威由于其宽绰峡湾和海湾,其维数为超等弯曲的d ≈ 1.52。下图清楚了它们各自海岸线的一部分的卫星视图。

其他运用

盒计数有好多变体,而况不错扩展到更高维度。它在鄙俚的筹备领域中找到了运用。

在天然界中,这项时间被用来探索河流聚积、根系、培养皿菌落、地质构造、生物结构、植被模式、泥土结构、大气景况和天文结构等。

在工业界,这项时间被用于材料科学,分析材料的微不雅结构。评估它们的结构复杂性有助于相连它们的机械和物感性质。它也被用于工业质料戒指和查抄。对于爽气度、孔隙度或材料中的不限定性的扫尾表征,对于半导体坐褥和名义涂层等制造进程至关迫切。

科赫弧线

科赫弧线以瑞典数学家尼尔斯·法比安·赫尔格·冯·科赫定名,他在发明这种局面时,曾筹备连气儿的、不成微的弧线。这条弧线在曼德布洛特写1967年的论文时对他的念念考产生了影响,他在论文中提到了这种构造。

上图清楚了这种局面的生成。从一条直线启动,在第1级:

移除其中间的三分之一,并用两个段替换,每个段的长度是底本直线的1/3。

为了赢得下一个级别的缩放,咱们肤浅地通过在面前级别的每条直线上推论疏导的操作来替换每条直线。

因为它是由4份每份缩放因子为1/3的副本组成的,咱们不错快速狡计其相似维数(盒计数也通常适用):

这个维数告诉咱们它不单是是一条肤浅的线,而况量化了它填充平面的倾向。深嗜的是,它的相似维数接近于大不列颠海岸线狡计的维数。

最终念念考

尽管曼德布洛特在上述论文中莫得使用盒计数,但该著作的影响之大,甚而于它激发了一场常识性淘金热,探索扫数可能运用盒计数过火变体的天然景况。

接头到盒计数在当代科学中的大都性,以过火在爽气度严谨筹备中的运用,值得一提的是,理查森对于海岸线的首创性使命过火对于限制依赖测量的想法其时被科学界大部分刻薄。

运气的是,曼德布洛特无限的好奇心使他知晓到了理查森前瞻性使命的价值。在理查森的使命基础上不竭探索,他的筹备成为了他在分形几何学发展中首创性使命的基础。






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